Halmazműveletek

Halmazműveletek áttekintése

A halmazelméleti műveletek alapvető eszközök a halmazok közötti kapcsolatok leírására. A legfontosabb műveletek: unió, metszet, különbség és komplementer.

Unió (∪)

Definíció: Az A ∪ B halmaz azokat az elemeket tartalmazza, amelyek legalább az egyik halmazban (A-ban vagy B-ben) benne vannak.

Tulajdonságok:

• Olyan elemek összessége, amelyek vagy A-ban, vagy B-ben vannak
• Magyarul: ‘legalább az egyikükben benne van’
• Jelölés: A ∪ B

Metszet (∩)

Definíció: Az A ∩ B halmaz azokat az elemeket tartalmazza, amelyek mindkét halmazban benne vannak.

Tulajdonságok:

• A és B közös elemeinek halmaza
• Csak azok az elemek, amelyek mind A-ban, mind B-ben megtalálhatók
• Jelölés: A ∩ B (fordított irányú U betű)

Különbség (\)

Definíció: Az A \ B halmaz azokat az A-beli elemeket tartalmazza, amelyek B-ben nincsenek benne.

Tulajdonságok:

• Minden olyan A-beli elem, ami nincs B-ben
• Aszimmetrikus művelet: A \ B ≠ B \ A általában
• Jelölés: A \ B

Alaphalmaz (U)

Definíció: Az U egy olyan nagy halmaz, amelynek minden vizsgált halmaz részhalmaza.

Tulajdonságok:

• A ⊆ U, B ⊆ U, stb.
• Szükséges a komplementer művelet definiálásához
• Különböző alaphalmazokhoz különböző komplementerek tartozhatnak

Komplementer (Ā vagy A’)

Definíció: Az A komplementere az U \ A, vagyis az alaphalmaz különbség A.

Tulajdonságok:

• Minden olyan U-beli elem, ami nincs A-ban
• Csak alaphalmazhoz képest értelmezhető
• Jelölés: Ā vagy A’
• Speciális kapcsolat: A komplementer a különbség művelet speciális esete

Kapcsolatok a műveletek között

• A komplementer a különbség művelet speciális esete: Ā = U \ A
• Az unió és metszet dual műveletpár
• A különbség és komplementer szorosan összefüggenek

Halmazelméleti jelölések összefoglalása

• A ∪ B: unió (legalább az egyikben)
• A ∩ B: metszet (mindkettőben)
• A \ B: különbség (A-ban van, B-ben nincs)
• Ā vagy A’: komplementer (U-ban van, A-ban nincs)
• A ⊆ U: A részhalmaza U-nak