Halmazok – Bevezetés

Alapfogalmak

Halmaz és eleme reláció

• Halmaz: alapfogalom, nem definiáljuk
• Eleme reláció (∈): szintén alapfogalom, nem definiáljuk
• Az alapfogalmakat axiomatikusan fogadjuk el, ezekből vezetjük le a többi fogalmat
• Intuitív elképzelés: halmazokat definiáló tulajdonságokkal állíthatunk elő

Üres halmaz

• Üres halmaz (∅ vagy {}): az a halmaz, aminek nincsen eleme
• Egyetlen egy üres halmaz létezik
• Az üres halmaz az egyetlen olyan halmaz, amelynek pontosan 0 eleme van

Halmazok megadása

Egy halmazt többféleképpen adhatunk meg:

1. Definiáló tulajdonsággal

• Megadjuk a feltételt, amelynek az elemeknek teljesülniük kell
• Példa: A = {x ∈ ℕ | x = 2y, y ∈ ℕ}
• Ez azt jelenti: azok a természetes számok, amelyek valamilyen természetes szám kétszeresei (páros számok)

2. Szöveges leírással

• Természetes nyelven írjuk le a halmaz elemeit
• Példa: “a páros természetes számok”

3. Felsorolással

• Megpróbáljuk felsorolni az elemeket (ha ez lehetséges)
• Példa: {0, 2, 4, 6, 8, …}
• Végtelen halmazok esetén csak részleges felsorolás lehetséges

Fontos: Ezek a módszerek csak jelölési konvenciók, ugyanazt a halmazt reprezentálják!

Halmazok egyenlősége

Definíció

Két halmaz (A és B) pontosan akkor egyenlő, ha:

• x ∈ A következik x ∈ B ÉS
• x ∈ B következik x ∈ A

Magyarázat: Két halmaz akkor azonos, ha pontosan ugyanazok az elemei mindkét irányban.

Részhalmazság

Definíció

A részhalmaza B-nek (A ⊆ B), ha:

• x ∈ A következik x ∈ B

Magyarázat: Ha minden A-beli elem megtalálható B-ben is, akkor A részhalmaza B-nek. Visszafelé ez nem kell, hogy teljesüljön (B-ben lehetnek olyan elemek is, amelyek nem tartoznak A-hoz).

Kapcsolat az egyenlőséggel

A halmazegyenlőség kifejezése részhalmazsággal:

• A = B pontosan akkor, ha A ⊆ B ÉS B ⊆ A

Ez a tétel összekapcsolja az egyenlőség és a részhalmazság fogalmát: ha mindkét irányban teljesül a részhalmazság, akkor a két halmaz egyenlő.

Összefoglalás

• Alapfogalmak: halmaz, eleme reláció (nem definiáljuk őket)
• Definiált fogalmak: üres halmaz, egyenlőség, részhalmazság (az alapfogalmakból levezethetők)
• A halmazok megadása többféle módon lehetséges (definiáló tulajdonság, szöveges leírás, felsorolás)
• A részhalmazság fogalma az eleme reláció alapján épül fel
• Az egyenlőség és a részhalmazság szorosan összefügg