Halmazok tulajdonságai

A halmazműveletek alapvető tulajdonságai

Kommutativitás (felcserélhetőség)

• Definíció: A művelet sorrendje felcserélhető
• Metszetre: A ∩ B = B ∩ A
• Unióra: A ∪ B = B ∪ A
• Fontos: A különbség nem kommutatív, általában A \ B ≠ B \ A
• Speciális esetekben előfordulhat egyenlőség, de nem általános tulajdonság

Asszociativitás (zárójelezés felcserélhetősége)

• Definíció: A zárójelezés sorrendje felcserélhető
• Metszetre: (A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C) = A ∩ B ∩ C
• Unióra: (A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C) = A ∪ B ∪ C
• Következmény: A zárójelek elhagyhatók
• Fontos: Mind a metszetre, mind az unióra teljesül

A komplementer tulajdonságai

• A halmaz és komplementere metszete: A ∩ A’ = ∅ (üres halmaz)
• Egy halmaz és komplementere diszjunkt, nincs közös elemük
• A halmaz és komplementere uniója: A ∪ A’ = U (alaphalmaz)
• Együtt fedik le a teljes alaphalmazt

Disztributivitás (elosztó tulajdonság)

• A metszet disztributív az unióra:
• A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C)
• Az unió disztributív a metszetre:
• A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C)
• Speciális tulajdonság: Mindkét művelet disztributív a másikra
• Ez különbözik a számok esetétől, ahol csak a szorzás disztributív az összeadásra

Összefoglaló – Tulajdonságok áttekintése

Kommutatív műveletek

• Metszet (∩): Igen
• Unió (∪): Igen
• Különbség (\): Nem

Asszociatív műveletek

• Metszet (∩): Igen
• Unió (∪): Igen
• Különbség (\): Nem

Disztributív kapcsolatok

• Metszet az unióra: Igen
• Unió a metszetre: Igen

Vizsgatipp

• Ezeket a tulajdonságokat tudni kell felsorolni
• A bizonyítások ismerete nem szükséges
• A disztributív tulajdonságok alapozzák meg a De Morgan azonosságokat